Question

设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关。则α1可以用β，α2，α3线性表出。为什么，谢谢

设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关。则α1可以用β，α2，α3线性表出，为什么，谢谢

Answer 1

由β，α2，α3线性无关，得到β，α2线性无关。

又由于β，α1，α2线性相关，其中β，α2线性无关，所以α1可由另外2个，也就是β，α2线性表出。

追问

倒数第二步怎么得到倒数第一步？谢谢

追答

因为β，α1，α2线性相关，所以存在不全为零的实数λ1、λ2、λ3，使得：
λ1 β + λ2 α1 + λ3 α2 = 0

先证明λ2不等于0：
若λ2 = 0，则λ1、λ3不全为零且：λ1 β + λ3 α2 = 0，这就意味着β、α2线性相关，矛盾。

所以λ2不等于0。

所以：α1 = - (λ1/λ2) β - (λ3/λ2) α2
也就是α1可由β、α2线性表出。