Question

指数函数如何求导

用[e^(x+delta x)-e^x]/delta x 悲剧了

Answer 1

引自百度百科：http://baike.baidu.com/view/643648.htm
y=a^x,
△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1）
△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x
如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。
由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。
所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β
显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^x， y'=e^x。