Question

高一数学，已知圆C1：x²+y²+6x=0关于直线L1:y=2x+1对称的圆C。

（1）求圆C的方程。
（2）过点（-1,0）作直线L与圆C交于A、B两点，O是坐标原点。设向量OS=向量OA+向量OB，是否存在这样的直线L，使得四边形OASB的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线L的方程；若不存在，请说明理由。
第（1）问我已经解出来了，是（x-1)²+(y+2)²=9

Answer 1

根据向量的几何意义知道四边形OASB是平行四边形，因为对角线相等，∠AOB=∠AOS+∠BOS=∠OAB+∠OBA=∠SBA+∠OBA=∠OBS，所以∠AOB=∠OBS=90°，所以四边形OASB是矩形，也就是说OA⊥OB

直线过点(-1，0)，是圆C外的一点，所以直线可设为斜率式y=k(x+1)
OA⊥OB，即是[x(1)，y(1)]*[x(2)，y(2)]=0
所以x(1)x(2)+y(1)y(2)=0
将y=k(x+1)代入，有(1+k^2)x(1)x(2)+k^2[x(1)+x(2)]+k^2=0

直线L与圆的相交，联立直线L与圆C的方程，化成关于x的方程，(1+k^2)x^2+2(k^2+2k-1)x+(k^2+4k-4)=0
所以x(1)x(2)=(k^2+4k-4)/(1+k^2)，x(1)+x(2)= -2(k^2+2k-1)/(1+k^2)

(k^2+4k-4)-2k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)+k^2=0
即是(k^2+2k-2)-k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)=0
(k^2+2k-1)-1-k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)=0
(k^2+2k-1)/(1+k^2)=1
化简后2k-1=1
k=1
所以直线的方程是y=x+1

Answer 2

由向量加法的平行四边形法则，可知四边形OASB是平行四边形。
所以要使四边形OASB的对角线相等，等价于OASB是矩形，只需OA⊥OB，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，要满足：x1x2+y1y2=0，
设直线L：y=k(x+1)，
联立圆的方程化简得：(1+k^2)x^2 + (2k^2 +4k-2)x +k^2+4k-4=0，
x1x2=(k^2+4k-4)/(1+k^2)， y1y2=(-k^2)/(1+k^2)，
所以 k^2+4k-4-k^2 =0， 解得k=1