Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为4的菱形，且∠BAD=60°

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中点，过A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中点．（1）求证：BC⊥平面PEB；（2）求证：M为PC的中点；（3）求四棱锥M-DEBC的体积．

Answer 1

解答：证明：（1）如图所示：不妨设AB=2．
∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°，E为AD中点．
在△ABE中，由余弦定理可得BE²=1²+2²-2×1×2cos60°=3．
∴AE²+BE²=AB²．
∴∠BAE=90°．
∴BE⊥AD，
又∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD．
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE．
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PBE．
（2）∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC．
又∵平面ADN∩平面PBC=MN，∴AD∥MN．
∴MN∥BC，
∵N为PB中点，
∴M为PC中点．
（3）由于侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，
则△PAD的高PE即为四棱锥M-DEBC的高的2倍，
由于四棱锥M-DEBC的体积为

1

3

×S四边形DEBC×

1

2

PE．且PE=4×

3

2

=2

3

，
又由（1）知，BE⊥AD
故S_{四边形DEBC}=

1

2

×(4+2)×4×

3

2

＝6

3

故四棱锥M-DEBC的体积为

1

3

×6

3

×

1

2

?2

3

＝6．