Question

已知函数y＝1+x1?x+lg(3?4x+x2)的定义域为M．（1）求M；（2）当x∈M时，求f（x）=a?2x+2+3?4x（a＞-3）的

已知函数y＝1+x1?x+lg(3?4x+x2)的定义域为M．（1）求M；（2）当x∈M时，求f（x）=a?2x+2+3?4x（a＞-3）的最小值．

Answer 1

（1）由题意得，

1+x 1?x ≥0且x≠1 3?4x+x2＞0

，

?1≤x＜1 x＞3或x＜1

，解得-1≤x＜1
∴函数的定义域M=[-1，1）．
（2）f（x）=a?2^x+2+3?4^x）=4a?2^x+3?2^2x=3(2x+

2

3

a) 2-

4

3

a²，
由（1）知，x∈[-1，1），设t=2^x，则t∈[

1

2

，2），
函数变为g（t）=3(t+

2

3

a)2-

4

3

a²，又∵a＞-3，∴?

2

3

a＜2，
①若?

2

3

a≤

1

2

时，即a≥-

3

4

，函数g（t）在[

1

2

，2）上时增函数，
∴f（x）的最小值是g（

1

2

）=3(

1

2

+

2

3

a) 2-

4

3

a²=2a+

3

4

，
②若

1

2

＜?

2

3

a＜2时，即-3＜a＜-

3

4

，当t=?

2

3

a时，f（x）取到最小值是-

4

3

a²．
综上，当a≥-

3

4

时，f（x）的最小值是2a+

3

4

；当-3＜a＜-

3

4

，f（x）的最小值是-

4

3

a²．