Question

已知函数f(x)=2alnx-x2+1(1)若a大于0求函数fx在区间[1,正无穷)上的最大值(

)若fx小于等于0在区间[1，+无穷)上恒成立，求a的最大值

Answer 1

f‘（x）=2a/x-x=(2a-x^2)/x，f（x）在（0，根号2a】是单调递增，在【根号2a，正无穷大）单调递减
(1).当1<=根号2a，即，a大于等于1/2，f（x）在【1，根号2a】单调递增，在【根号2a，正无穷大）单调递减，所以在x=根号2a处取得最大值aln(2a)-2a+1;
当根号2a小于等于1，即0<a<=1/2，f（x）在【1，正无穷大）单调递减，所以在x=1处取得最大值0
综述：（1）：a大于等于1/2，最大值aln(2a)-2a+1；
（2）：当0<a<=1/2，最大值0
（2）若f（x）在【1，正无穷大）恒小于等于0，所以2a小于等于（x^2-1）/lnx；
设g（x）=（x^2-1）/lnx，x的范围是[1,正无穷)，现在就需要求g（x）的最小值；
g‘（x）=（2xlnx-x+1/x）/（lnx的平方），
设h（x）=2xlnx-x+1/x，h’（x）=2lnx+2-1-1/（x的平方）；
当x大于等于1，h‘（x）大于等于0，说明h（x）在[1,正无穷)是单调递增，所以h（x）在x=1处取得的最小值h（1）=0，所以h（x）大于等于0，从而说明g‘（x）=（2xlnx-x+1/x）/（lnx)^2在【1，正无穷大）是恒大于等于0，所以有g（x）在【1，正无穷大）单调递增，所以在x=1处g（x）取得最小值g（1）=lim（x趋于1）（x^2--1）/(lnx)=2x/(//x)=2,所以2a小于等于2，即a<=1

Answer 2

f‘（x）=2a/x-x=(2a-x^2)/x，f（x）在（0，根号2a】是单调递增，在【根号2a，正无穷大）单调递减
(1).当1<=根号2a，即，a大于等于1/2，f（x）在【1，根号2a】单调递增，在【根号2a，正无穷大）单调递减，所以在x=根号2a处取得最大值aln(2a)-2a+1;
当根号2a小于等于1，即0
评论
0
0
0
加载更多