Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H。（1）求证：AH·AB=AC 2 ；（2）若过A的直线与弦CD（不含

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H。（1）求证：AH·AB=AC 2 ；（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC 2 ；（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC 2 是否成立（不必正面）。

Answer 1

证明：（1）连结CB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAH=∠BAC， ∴△CAH∽△BAC， ∴ ， 即AH·AB=AC 2 ； （2）连结FB， 易证△AHE∽△AFB， ∴AE·AF=AH·AB， ∴AE·AF=AC 2 ， 也可连结CF，证△AEC∽△ACF； （3）结论AP·AQ=AC 2 成立。