如图,⊙O的直径为10,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(
如图,⊙O的直径为10,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线CD交PB的延...
如图,⊙O的直径为10,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.(1)求证:AC?CD=PC?BC;(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长.
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(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CD⊥CP,
∴∠PCD=90°,
∴∠ACB=∠PCD,
∵∠A与∠P是
对的圆周角,
∴∠A=∠P,
∴△ABC∽△PDC,
∴
=
,
∴AC?CD=PC?BC;
(2)解:当点P运动到
的中点时,过点B作BE⊥PC于E,
∵BC:CA=4:3,AB=10,
∴BC=8,AC=6,
∵点P是
的中点,
∴∠PCB=
∠ACB=45°,
∴BE=CE=BC?sin45°=8×
=4
,
在Rt△EPB中,tan∠P=tan∠A=
=
=
,
∴PE=
BE=3
,
∴PC=PE+CE=7
,
∴CD=PC?tan∠P=
×7
∴∠ACB=90°,
∵CD⊥CP,
∴∠PCD=90°,
∴∠ACB=∠PCD,
∵∠A与∠P是
BC |
∴∠A=∠P,
∴△ABC∽△PDC,
∴
AC |
PC |
BC |
CD |
∴AC?CD=PC?BC;
(2)解:当点P运动到
AB |
∵BC:CA=4:3,AB=10,
∴BC=8,AC=6,
∵点P是
AB |
∴∠PCB=
1 |
2 |
∴BE=CE=BC?sin45°=8×
| ||
2 |
2 |
在Rt△EPB中,tan∠P=tan∠A=
BE |
PE |
BC |
AC |
4 |
3 |
∴PE=
3 |
4 |
2 |
∴PC=PE+CE=7
2 |
∴CD=PC?tan∠P=
4 |
3 |
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