Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DE经过点C，且AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，（1）当直线DE的位

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DE经过点C，且AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，（1）当直线DE的位置如图1所示时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线DE的位置如图2所示时，求证：DE=AD-BE．

Answer 1

（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中

∠CDA＝∠BEC ∠DAC＝∠ECB AC＝BC

∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．

（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中
∵

∠ACD＝∠CBE ∠ADC＝∠BEC AC＝BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．