Question

如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2

如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，异面直线AD1与BC所成角为45°．（1）求证：AC⊥平面CC1D1D；（2）求直线DD1与平面ACD1所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）由已知得，D₁D⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
所以 AC⊥D₁D，
又∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，
所以AC＝

2

，∠CAD＝45°，
所以CD＝

2

，AC⊥CD，
又CD∩DD₁=D，
故AC⊥平面CC₁D₁D；
（2）因为BC∥AD，
所以∠D₁AD为异面直线AD₁与BC所成角，即为45°，
又D₁D⊥AD，
所以D₁D=AD=2，
过点D作DH⊥CD₁，交CD₁于点H，
由（1）知，AC⊥DH，又AC∩CD₁=C，
所以DH⊥平面ACD₁，
故∠DD₁C是直线DD₁与平面ACD₁所成角，记为θ，
在Rt△D₁DC中，CD＝

2

，CD1＝

6

，
所以sinθ＝

CD

CD1

＝

2

6

＝

3

3

；