如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，∠ABC=45°，点M在边AC上，点N在边BC上，△MCN与△MPN关于直线
如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，∠ABC=45°，点M在边AC上，点N在边BC上，△MCN与△MPN关于直线MN对称，P是AB上的点．（1）当点P是边AB的...
如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，∠ABC=45°，点M在边AC上，点N在边BC上，△MCN与△MPN关于直线MN对称，P是AB上的点．（1）当点P是边AB的中点时，求证：PAPB＝CMCN；（2）当点P不是边AB的中点时，PAPB＝CMCN是否仍然成立？请证明你的结论．
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（1）证明：连接CP，依据题意得折痕MN⊥CP．
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB．
∴MN∥AB，
∴
＝
＝1．
∴
＝
．
（2）解：当点P不是斜边AB的中点时，
＝
仍然成立．
证明如下：
连接CP，则MN⊥CP．作PE⊥AC于E．
∵∠ACB=90°，
∴PE∥BC，
∴
＝
．
又AC=BC，∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=PE．
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴Rt△MCN∽Rt△PEC，
∴
＝
．
∴
＝
＝
．
∴
＝
．
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB．
∴MN∥AB，
∴
| CM |
| CN |
| AC |
| BC |
∴
| PA |
| PB |
| CM |
| CN |
（2）解：当点P不是斜边AB的中点时，
| PA |
| PB |
| CM |
| CN |
证明如下：
连接CP，则MN⊥CP．作PE⊥AC于E．
∵∠ACB=90°，
∴PE∥BC，
∴
| PA |
| PB |
| AE |
| EC |
又AC=BC，∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=PE．
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴Rt△MCN∽Rt△PEC，
∴
| CM |
| PE |
| CN |
| EC |
∴
| CM |
| CN |
| PE |
| EC |
| AE |
| EC |
∴
| PA |
| PB |
| CM |
| CN |
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