Question

（2013?白云区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC并延长至D，使CD=AC，连结BD，作CE⊥

（2013?白云区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC并延长至D，使CD=AC，连结BD，作CE⊥BD，垂足为E．（1）线段AB与DB的大小关系为______，请证明你的结论；（2）判断CE与⊙O的位置关系，并证明；（3）当△CED与四边形ACEB的面积之比是1：7时，试判断△ABD的形状，并证明．

Answer 1

解答：解：（1）线段AB=DB．
证明如下：
连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AD．
又∵AC=CD，
∴BC垂直平分线段AD，
∴AB=DB；

（2）CE是⊙O的切线．
证明如下：
连结OC，
∵点O为AB的中点，点C为AD的中点，
∴OC为△ABD的中位线，
∴OC∥BD．
又∵CE⊥BD，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；

（3）△ABD为等边三角形．
证明如下：
由

S四边形ACEB

S△CED

=

7

1

，
得

S四边形ACEB+S△CED

S△CED

=

7+1

1

，
∴

S△ABD

S△CED

=

8

1

，
即

S△CED

S△ABD

=

1

8

，
∴

S△CED

2S△BCD

=

1

8

，

S△CED

S△BCD

=

1

4

，
∵∠D=∠D，∠CED=∠BCD=90°，
∴△CED∽△BCD，
∴(

CD

BD

)2=

S△CED

S△BCD

，即(

CD

BD

)2=

1

4

，
∴

CD

BD

=

1

2

，
在Rt△BCD中，
∵CD=

1

2

BD，
∴∠CBD=30°，
∴∠D=60°，
又∵AB=DB，
∴△ABD为等边三角形．