Question

已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx-1．（Ⅰ）求f(π2)和f（x）的最大值；（Ⅱ）若f(α2+5π8)＝?325，α是

已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx-1．（Ⅰ）求f(π2)和f（x）的最大值；（Ⅱ）若f(α2+5π8)＝?325，α是第二象限的角，求cos(π3+α)的值．

Answer 1

解答：（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1，
∴f(

π

2

)＝2?1＝1，…（2分）
∵f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1
=1-cos2x+sin2x-1
=sin2x-cos2x     …（4分）
=

2

(

2

2

sin2x?

2

2

cos2x)
=

2

(sin2xcos

π

4

?cos2xsin

π

4

)
=

2

sin(2x?

π

4

)…（6分）
当x＝kπ+

3

8

π，k∈Z时最大值为

2

．…（7分）
（Ⅱ）f(

α

2

+

5π

8

)＝

2

sin[2(

α

2

+

5π

8

)?

π

4

]＝?

2

sinα…（8分）
∴?

2

sinα＝?

3 2

5

∴sinα＝

3

5

…（9分）
∵α是第二象限的角∴cosα＝?

1?sin2α

=?

1?(? 3 5 )2

＝?

4

5

…（10分）
∴cos(

π

3

+α)＝cos

π

3

cosα?sin

π

3

sinα…（11分）
=

1

2

×(?

4

5

)?

3

2

×

3

5

＝?

4+3 3

10

．…（12分）