Question

数列{an}（n∈N*）的前n项和Sn满足Sn=n2+2n+1．（1）求an；（2）设bn=an?2n（n∈N*）的前n项和为Tn，求Tn

数列{an}（n∈N*）的前n项和Sn满足Sn=n2+2n+1．（1）求an；（2）设bn=an?2n（n∈N*）的前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

（1）①当n=1时，a₁=S₁=1+2+1=4；
②当n∈N^*且n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝(n2+2n+1)?[(n?1)2+2(n?1)+1]＝2n+1
∴an＝

4 2n+1

(n＝1) (n≥2)

（2）由（1）得，b_n=a_n?2ⁿ=

8，n＝1 (2n+1)?22，n≥2

，
①当n=1时，T₁=8；当n=2时，T₂=28；
②当n∈N^*且n≥3时，T_n=a1?21+a2?22+a3?23+…+an?1?2n?1+an?2n
∴2?T_n=a1?22+a2?23+a3?24+…+an?1?2n+an?2n+1
∴（-1）?T_n=a1?21+(a2?a1)?22+(a3?a2)?23+(a4?a3)?24+…+(an?an?1)?2n?an?2n+1
∴（-1）?T_n=8+2²+2?2³+2?2⁴+…+2?2ⁿ-（2n+1）?2ⁿ⁺¹=8+2²+2?（2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
=12+2?

23(1?2n?2)

1?2

?(2n+1)?2n+1=12+2ⁿ⁺²-2⁴-n?2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹
∴Tn＝n?2n+2?2n+1+4
由①②得，Tn＝n?2n+2?2n+1+4（n∈N^*）．