Question

已知函数f（x）=-x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值为M．（Ⅰ）若b=2，试求出M；

已知函数f（x）=-x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值为M．（Ⅰ）若b=2，试求出M；（Ⅱ）若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）当b=2时，f（x）=-x²+2bx+c在区间[-1，1]上是增函数，
则M是g（-1）和g（1）中较大的一个，
又g（-1）=|-5+c|，g（1）=|3+c|，
则M＝

|?5+c|，c≤1 |3+c|，c＞1

；
（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|-（x-b）²+b²+c|，
（i）当|b|＞1时，y=g（x）在区间[-1，1]上是单调函数，
则M=max{g（-1），g（1）}，
而g（-1）=|-1-2b+c|，g（1）=|-1+2b+c|，
则2M≥g（-1）+g（1）≥|f（-1）-f（1）|=4|b|＞4，可知M＞2．
（ ii）当|b|≤1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之内，
此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}，
又g（b）=|b²+c|，
①当-1≤b≤0时，有f（1）≤f（-1）≤f（b），
则M=max{g（b），g（1）}≥

1

2

（g（b）+g（1））≥

1

2

|f（b）-f（1）|=

1

2

(b?1)2≥

1

2

；
②当0＜b≤1时，有f（-1）≤f（1）≤f（b）．
则M=max{g（b），g（-1）}≥

1

2

（g（b）+g（-1））≥

1

2

|f（b）-f（-1）|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
综上可知，对任意的b、c都有M≥

1

2

．
而当b=0，c＝

1

2

时，g(x)＝|?x2+

1

2

|在区间[-1，1]上的最大值M＝

1

2

，
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为

1

2

．