Question

（2015?赤峰模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，

（2015?赤峰模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）求三棱锥C-A1B1C1的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：在△ABC中，AC=5，AB=4，BC=3，
满足AC²=AB²+BC²，
∴∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
又∵四边形BCC₁B₁为矩形，∴CB⊥BB₁，
又BB₁?平面AA₁B₁B，AB?平面AA₁B₁B，BB₁∩AB=B，
∴CB⊥平面AA₁B₁B，
又∵AB₁?平面AA₁B₁B，∴CB⊥AB₁，
又∵四边形A₁ABB₁为菱形，∴AB₁⊥A₁B，
又CB?平面AA₁B₁B，A₁B?平面A₁BC，CB∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC．
（2）解：过B作BD⊥A₁B₁于D，
由（1）得CB⊥平面AA₁B₁B，
∴C₁B₁⊥平面AA₁B₁B，∴C₁B₁⊥BD，
∴BD⊥平面A₁B₁C₁，
由题设知BD=2

2

，
V C?A1B1C1=

1

3

×

1

2

A1B1?B1C1?BD=

1

3

×

1

2

×4×3×2

2

＝4

2

，
∴三棱锥C-A₁B₁C₁的体积为4

2

．