Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：BC上是否存在一点G使得平面EFG∥平面PAB（2）若二面角P-AD-B为60°，①证明：BE⊥PB；②求直线EF与平面PBC所成角的正切值．

Answer 1

解答：证明：（1）取BC的中点G，连结EG，FG，
∵E，G分别是AD，BC的中点，∴EG∥AB，
又EG?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EG∥平面PAB，…..（2分）
又∵F，G分别是PC，BC的中点，∴FG∥PB，
∵FG?平面PAB，PB?平面PAB，∴FG∥平面PAB（2分），
又FG∩EG=G，∴平面EFG∥平面PAB，G即为所求的点…..（5分）
（2）①∵PA=PD，AB=BD，E为AD的中点，∴AD⊥PE，AD⊥BE，
∴∠BEP即为二面角P-AD-B的平面角，∴∠BEP=60°，…..（6分）
∵AB=

2

，AE=1，∴BE=1，
∵PA=

5

，AE=1，∴PE=2，
∴PB=

12+22?2×1×2×cos60°

＝

3

，∴PB²+BE²=PE²，∴BE⊥PB…（8分）
②∵AD⊥BE，∴BE⊥BC，
又BE⊥PB，BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，
连结BF，则∠BFE即为直线EF与平面PBC所成角，…..（10分）
∵PB=

3

，PA=

5

，AB=

2

，∴PB⊥AB，
由BE⊥PB，PB⊥AB得PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥BC，PB=

3

，BC=AD=2，∴PC=

7

，∴BF=

7

2

，
又BE=1，
∴tan∠BFE＝

1

7 2

＝

2 7

7

….12分）