Question

已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的

已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数f(x)＝sin(ωx?π6)?cosωx (ω＞0)，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

（1）∵sin²C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c²=2ab，
由余弦定理有：a²+b²=c²+2abcosC=c²（1+cosC）①
又a²+b²=6abcosC=3c²cosC②
由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=

1

2

，
又0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）f(x)＝sin(ωx?

π

6

)?cosω

x

=

3

sin（ωx-

π

3

）
∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，
∴T=π
∴

2π

ω

＝π
∴ω=2
∴f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）
∴f（A）=

3

sin（2A-

π

3

）
∵

π

6

＜A＜

π

2

，∴0＜2A-

π

3

＜

2π

3

∴0＜sin（2A-

π

3

）≤1
∴0＜f（A）≤

3

．