Question

如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的

如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（ ，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q， ∴∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC， 又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO≌△BCQ， ∵BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C（﹣3，1）， 由A（0，2），C（﹣3，1） 可知，直线AC：y= x+2； （2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∵BC=BD， ∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∵DG=OB， ∴△BOE≌△DGE， ∴BE=DE； （3）如图3，直线BC：y=﹣ x﹣ ，P（ ，k）是线段BC上一点， ∴P（﹣ ， ），由y= x+2知M（﹣6，0）， ∴BM=5，则S △BCM = ． 假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积， 则 BN· = × ， ∴BN= ，ON= ， ∴BN＜BM， ∴点N在线段BM上， ∴N（﹣ ，0）．