Question

已知函数f(x)＝13x3+12ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1，则关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0的

已知函数f(x)＝13x3+12ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1，则关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）A．2B．3C．4D．5

Answer 1

解：∵函数f(x)＝

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c
有两个极值点x₁，x₂，不妨假设x₁＜x₂，
∴f′（x）=x²+ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=a²-4b＞0．
由于方程f²（x）+af（x）+b=0的判别式
△′=△=a²-4b＞0，
故此方程有两解为 f（x）=x₁或f（x）=x₂．
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x₁的交点个数
即为方程f（x）=x₁ 的解个数；
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x₂ 的交点个数，即为方程f（x）=x₂的解个数．
根据f（x₁）=x₁，画出图形，如图所示：
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x₁的交点个数为2，函数y=f（x）的图象和直线y=x₂ 的交点个数为1，
可得关于x的方程f（x）=x₁或f（x）=x₂共有3个不同的实数根，
即关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0的不同实根个数为3．
故选 B．