Question

（2014?武汉元月调考）如图1，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与边BC和AC相交于点E和F，过点E作⊙O

（2014?武汉元月调考）如图1，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与边BC和AC相交于点E和F，过点E作⊙O的切线交边AC于点H．（1）求证：CH=FH；（2）如图2，连接OH，若OH=7，HC=1，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接AE，OE和FE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴BE=EC，
∴OE∥AC，
∵EH为圆O的切线，
∴EH⊥OE，
∴EH⊥AC，
∵∠B+∠AFE=180°，∠EFC+∠AFE=180°，
∴∠B=∠EFC，
∵∠B=∠C，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC，
∴CH=FH；
（2）解：过点O作OD⊥AC，得到D为AF中点，
设圆O的半径为r，则AF=AC-FC=AB-2CH=2r-2，AD=

1

2

=r-1，HD=r-1+1=r，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：OD²=OA²-AD²=r²-（r-1）²，
在Rt△ODH中，根据勾股定理得OD²+DH²=OH²，即r²-（r-1）²+r²=（

7

）²，
解得：r=-4（舍去）或r=2，
则圆O的半径为2．