Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=32c，则ab的最小值为______

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=32c，则ab的最小值为______．

Answer 1

在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=-

1

2

，C=

2π

3

．
由于△ABC的面积为S=

1

2

ab?sinC=

3

4

ab=

3

2

c，∴c=

1

2

ab．
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab?cosC，整理可得

1

4

a²b²=a²+b²+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，
故答案为：12．