Question

（1）观察发现如题（a）图，若点A，B在直线 同侧，在直线 上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点

（1）观察发现如题（a）图，若点A，B在直线 同侧，在直线 上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点就是所求的点P再如题（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ． （2）实践运用如题（c）图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值． （3）拓展延伸 如题（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．





Answer 1

（1） ；（2） ；（3）如图所示：

试题分析：（1）根据等边三角形的性质及勾股定理求解即可； （2）作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，先根据轴对称性证得△OBE为等边三角形，即可证得△OAE为等腰直角三角形，从而求得结果； （3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可. （1）BP+PE的最小值 ； （2）作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短， 因为AD的度数为60°，点B是弧AD的中点， 所以∠AEB=15°， 因为B关于CD的对称点E， 所以∠BOE=60°， 所以△OBE为等边三角形， 所以∠OEB=60°， 所以∠OEA=45°， 又因为OA=OE， 所以△OAE为等腰直角三角形， 所以 ； （3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，如图所示： 点评：解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．