Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若 =KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE= ，AK= ，求FG的长．

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Answer 1

解：（1）如答图1，连接OG． ∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°， ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°， 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG， ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE． （2）AC∥EF，理由为： 连接GD，如答图2所示． ∵KG 2 =KD GE，即 = ， ∴ = ，又∠KGE=∠GKE， ∴△GKD∽△EGK， ∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD， ∴∠E=∠C， ∴AC∥EF； （3）连接OG，OC，如答图3所示． sinE=sin∠ACH= ，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t， ∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t． 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH 2 +HK 2 =AK 2 ， 即（3t） 2 +t 2 =（ ） 2 ， 解得t= ． 设⊙O半径为r， 在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH 2 +CH 2 =OC 2 ， 即（r﹣3t） 2 +（4t） 2 =r 2 ，解得r= t= ． ∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形， 在Rt△OGF中，OG=r= ，tan∠OFG=tan∠CAH= = ， ∴FG= = = ．