Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，且BC：EC=4：1，F是DC的中点．（1）判断△AEF的形状，并说明理由；

如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，且BC：EC=4：1，F是DC的中点．（1）判断△AEF的形状，并说明理由；（2）若正方形的边长为4，求△AEF的面积．

Answer 1

（1）△AEF是直角三角形．
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵F是DC的中点，
∴DF=CF=2a，
∵BC：EC=4：1，
∴EC=a，BE=4a-a=3a，
在Rt△ADF中，AF²=（4a）²+（2a）²=20a²，
在Rt△ECF中，EF²=（2a）²+a²=5a²，
在Rt△ABE中，AE²=（4a）²+（3a）²=25a²，
∴AF²+EF²=AE²，
∴△AEF是直角三角形；

（2）正方形的边长为4时，4a=4，a=1，
AF=

20

=2

5

，
EF=

5

，
△AEF的面积=

1

2

AF?EF=

1

2

×2

5

×

5

=5．