Question

已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3-|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线

已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3-|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则x2x1的取值范围为（　　）A．[-1，0）B．[-32，32]C．（-1，0）D．（-1，1）

Answer 1

解：由题意，f（x）=x³-|x|=

x3-x，x≥0 x3+x，x＜0

，
当x≥0时，f′（x）=3x²-1，当x＜0时，f′（x）=3x²+1，
因为在A，B两点处的切线互相平行，且x₁＞x₂，
所以x₁＞0，x₂＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），
所以在点A（x₁，y₁）处切线的斜率为f′（x₁）=3x₁²-1，
在点B（x₂，y₂）处切线的斜率为f′（x₂）=3x₂²+1
所以3x₁²-1=3x₂²+1，
即

x12

2 3

-

x22

2 3

=1，（x₁＞x₂，x₂＜0）
表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：

x2

x1

表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，
由图可知

x2

x1

取值范围是（-1，0），
故选：C．