Question

已知函数f(x)＝ln1?x1+x．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性并加以证明；（3）判

已知函数f(x)＝ln1?x1+x．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性并加以证明；（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性并加以证明．

Answer 1

（1）由题意令

1?x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，所以函数的定义域是（-1，1）
（2）此函数是一个奇函数，证明如下
由（1）知函数的定义域关于原点对称，且f(?x)＝ln

1+x

1?x

=-ln

1?x

1+x

＝?f(x)，故函数是奇函数；
（3）此函数在定义域上是减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，f(x1)?f(x2)＝ln

1?x1

1+x1

?ln

1?x2

1+x2

＝ln

(1?x1)(1+x2)

(1?x2)(1+x1)

由于x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，可得

(1?x1)(1+x2)

(1?x2)(1+x1)

＞1，
所以ln

(1?x1)(1+x2)

(1?x2)(1+x1)

＞0
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函数在定义域是减函数