Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+1，a∈R，记F（x）=f（x）-g（x）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+1，a∈R，记F（x）=f（x）-g（x）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；（Ⅱ）求函数F（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若函数F（x）没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

（ I）f'（x）=

1

x

，则函数f（x）在x=e处的切线的斜率为k=

1

e

．
又f（e）=1，
所以函数f（x）在x=e处的切线方程为y?1＝

1

e

(x?e)，即y=

1

e

x．
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-1，F'（x）=

1

x

?a＝

1?ax

x

，（x＞0）．
①当a≤0时，F'（x）＞0，F（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，令F'（x）＜0，解得x＞

1

a

；令F'（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的增区间是(0，

1

a

)，减区间是(

1

a

，+∞)．
（Ⅲ）依题意，函数F（x）没有零点，即F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-1=0无解．
由（Ⅱ）知，当a＞0时，函数F（x）在区间(0，

1

a

)上为增函数，区间(

1

a

，+∞)上为减函数，
由于F（1）=-a-1＜0，只需F（

1

a

）=ln

1

a

-a?

1

a

?1=-lna-2＜0，
解得a＞e^-2．
所以实数a的取值范围为（

1

e2

，+∞）．