Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴正半轴上，OB在y轴负半轴上，且OA=3，OB=1，以点B

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴正半轴上，OB在y轴负半轴上，且OA=3，OB=1，以点B为顶点的抛物线经过点A．（1）求出该抛物线的解析式．（2）第二象限内的点M，是经过原点且平分Rt△AOB面积的直线上一点．若OM=2，请判断点M是否在（1）中的抛物线上？并说明理由．（3）点P是经过点B且与坐标轴不平行的直线l上一点．请你探究：当直线l绕点B任意旋转（不与坐标轴平行或重合）时，是否存在这样的直线l，在直线l上能找到点P，使△PAB与Rt△AOB相似（相似比不为1）？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）依题意得：A（

3

，0），B（0，-1），
∵B为抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为y=ax²-1，
将A坐标代入得：3a-1=0，即a=

1

3

，
则抛物线解析式为y=

1

3

x²-1；

（2）点M不在抛物线y=

1

3

x²-1上，理由为：
设抛物线与x轴的另一个交点为C，直线OM交AB于点D，作MN⊥OC于点N，
由题意得：D为AB的中点，即OD=AD=BD，
∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，
在Rt△OMN中，OM=2，
∴MN=1，ON=

3

，即M（-

3

，1），
∵y=

1

3

×（-

3

）²-1=0≠1，
∴点M不在抛物线y=

1

3

x²-1上；

（3）存在，在Rt△AOB中，AO=

3

，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，
分三种情况考虑：
①当∠ABP=90°时，若∠AP₁B=60°，则△ABP₁∽△AOB，
∴

BP1

BO

=

AB

AO

，即BP₁=

1×2

3

=

2 3

3

，
∴OP₁=

3

3

，即P₁（-

3

3

，0），[这里也利用求出P₂（-

3

，2）或P₃（

3

3

，-2）或P₄（

3

，-4）]，
设直线l解析式为y=kx+b，将B与P₁坐标代入得：

b＝?1 ? 3 3 k+b＝0

，
解得：

k＝? 3 b＝?1

，
此时直线l解析式为y=-