Question

如图，点P是反比例函数 图象上的点，PA垂直x轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连

如图，点P是反比例函数 图象上的点，PA垂直x轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB= 。 （1）k的值是 　 　 ；（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是 　 　 。

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Answer 1

（1） ；（2）0＜a＜2或 。

（1）依题意，AO=1，OC=1，∴AB是Rt△PAC斜边上的中线。 ∵AB= ，∴PC= 。 ∴在Rt△PAC中，AC=2，AP= ，PC= ， ∴根据勾股定理，得： ，解得 。 ∵ ，∴ 。 （2）分两种情况： ①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：当∠MBA＝∠ABC时，点M是PC与双曲线的另一个交点，由B（0,2）,C（1,0）易得直线PC的解析式为 ，与 联立： ，解得： 或 （点P坐标，舍去）， ∴当∠MBA＝∠ABC时，点M的坐标为（2，－2）。 ∴当∠MBA＜∠ABC时，0＜a＜2。 ②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：如图，将△ABC顺时针旋转至 △EBA，延长BE交 于点 ，则 之间横坐标的值即为所求。过点E分别作ｘ轴和ｙ轴的垂线，垂足分别为点F，G，设点E的坐标为（ｘ，ｙ）， 由旋转的性质，得AE=AC=2，BE=BA= 。 在Rt△AEF中，由勾股定理，得 ，即 ①， 在Rt△BEG中，由勾股定理，得 ，即 ②， ①-②，得 ，即 ③， 将③代入②，得 ，解得 或 （舍去）， 将 代入③得 。 ∴点E的坐标为 。 设直线BE的解析式为 ，则 。 ∴直线BE的解析式为 。 联立 。 ∴ 。 综上所述，a的取值范围是0＜a＜2或 。