Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax 2 -4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax 2 -4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，-1}=-1．若关于x的函数y=min{ax 2 -4ax+4a+c，m（x-t） 2 -1（m＞0）}的图象关于直线x=3对称，试讨论其与动直线 y= 1 2 x+n 交点的个数．

Answer 1

（1）∵y=ax 2 -4ax+4a+c=a（x-2） 2 +c， ∴抛物线的对称轴为直线x=2． ∵抛物线y=ax 2 -4ax+4a+c与x轴交于 点A、点B，点A的坐标为（1，0）， ∴点B的坐标为（3，0），OB=3． 可得该抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）． ∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， ∴OC=3，点C的坐标为（0，3）． 将点C的坐标代入该解析式，解得a=1． ∴此抛物线的解析式为：y=x 2 -4x+3； （2）作△ABC的外接圆⊙E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设⊙E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点 为点P 1 ，点P 1 关于x轴的对称点为点P 2 ，点P 1 ，点P 2 ，均为所求的点，如图1所示： 可知圆心E必在AB边的垂直平分线上即抛物线的对称轴直线x=2上， ∵∠AP 1 B、∠ACB都是 AB 所对的圆周角， ∴∠AP 1 B=∠ACB，且射线FE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB， 由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2， 可得圆心E也在BC边的垂直平分线上即直线y=x上， ∴点E的坐标为：E（2，2）， 由勾股定理可得出：EA= 5 ， ∴EP 1 =EA= 5 ， ∴点P 1 的坐标为：P 1 （2，2+ 5 ）， 由对称性得点P 2 的坐标为：P 2 （2，-2- 5 ）， ∴符合题意的点P坐标为：P 1 （2，2+ 5 ），P 2 （2，-2- 5 ）； （3）如图2，由题意可知，原二次函数的解析式为y=x 2 -4x+3可得，所求得的函数的解析式为： y=( x -2 ) 2 -1(x＜3) y=(x-4 ) 2 -1(x≥3) 由函数图象可知：当y 1 = 1 2 x+n与y=（x-4） 2 -1有一个交点时， 1 2 x+n=（x-4） 2 -1， 整理得出：x 2 - 17 2 x+15-n=0， 则b 2 -4ac= 289 4 -4（15-n）=0， 解得：n=- 49 16 ， ∴当 n＜- 49 16 时，动直线 y= 1 2 x+n 与函数图象无交点； 当 n=- 49 16 时，动直线 y= 1 2 x+n 与函数图象有唯一的一个交点； 当y 1 = 1 2 x+n与y=（x-2） 2 -1有一个交点时， 1 2 x+n=（x-2） 2 -1， 整理得出：x 2 - 9 2 x+3-n=0， 则b 2 -4ac= 81 4 -4（3-n）=0， 解得：n=- 33 16 ， ∴当 - 49 16 ＜n＜- 33 16 时，动直线 y= 1 2 x+n 与函数图象有两个交点； 当 n=- 33 16 时，动直线 y= 1 2 x+n 与函数图象有三个交点； 当y 1 = 1 2 x+n过点B时， 1 2 ×3+n=0， 解得：n=- 3 2 ， ∴当 - 33 16 ＜n＜- 3 2 时，动直线 y= 1 2 x+n 与函数图象有四个交点； 当 n=- 3 2 时，动直线 y= 1 2 x+n 与函数图象有三个交点； 当 n＞- 3 2 时，动直线 y= 1 2 x+n 与函数图象有三个交点．