Question

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；（Ⅲ）若k，n∈N * ，且1≤k≤n，证明： 1 (1+ 1 n ) n + 1 (1+ 2 n ) n +…+ 1 (1+ k n ) n +…+ 1 (1+ n n ) n ＞ 1 e-1 ．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数，可得 f′(x)= 1 x -a （x＞0） 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数； 当a＞0时，由f′（x）＞0可得0＜x＜ 1 a ，由f′（x）＞0可得x＞ 1 a ， ∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0， 1 a ），单调减区间是（ 1 a ，+∞ ）； （Ⅱ）lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立，等价于f（x） max ＜0 由上知，a≤0时，不成立； a＞0时， f (x) max =f( 1 a )=ln 1 a -1＜0 ，∴ a＞ 1 e ； （Ⅲ）证明：∵函数f（x）=lnx-ax，由（Ⅱ）知，a=1时， f (x) max =f( 1 a )=ln 1 a -1=-1 ∴lnx-x＜-1 ∴lnx＜x-1 令 x=1+ k n ，则 ln(1+ k n )＜ k n ，∴ nln(1+ k n )＜k ，∴ ln(1+ k n ) n ＜k ∴ (1+ k n ) n ＜ e k ，∴ 1 (1+ k n ) n ＞ 1 e k ∴ 1 (1+ 1 n ) n + 1 (1+ 2 n ) n +…+ 1 (1+ k n   ) n +…+ 1 (1+ n n ) n ＞ 1 e + 1 e 2 +…+ 1 e 2 + 1 2 n = 1 e (1- 1 e n-1 ) 1- 1 e + 1 2 n 当n→+∞时， 1 e (1- 1 e n-1 ) 1- 1 e → 1 e-1 ． ∴ 1 (1+ 1 n ) n + 1 (1+ 2 n ) n +…+ 1 (1+ k n   ) n +…+ 1 (1+ n n ) n ＞ 1 e-1 ．