Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．（1）实验

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中： P从点O出发平移次数 可能到达的点的坐标 1 （1，0），（0，2） 2 3 （2）观察发现：设点P（x，y），任一次平移，点P可能到达的点的纵、横坐标都满足一定的关系式．例如：平移1次后2x+y=______；平移2次后2x+y=______；平移3次后2x+y=______；…．由此我们知道，平移n次后点P坐标满足的关系式是______．（3）探索运用：点P从点O出发经过n次平移后达到点R，若点R的纵坐标比横坐标大6，并且点P平移的路径长不小于50，不超过56，求点R的坐标．

Answer 1

（1）如图所示：

P从点O出发平移次数	可能到达的点的坐标
1	（1，0），（0，2）
2	（1，2），（0，4），（2，0）
3	（1，4），（0，6），（2，2），（3，0）

（2）平移1次后可能到达的点的坐标为（1，0），（0，2），
如果坐标为（1，0），那么2x+y=2×1+0=2；如果坐标为（0，2），那么2x+y=2×0+2=2．
即平移1次后2x+y=2；
平移2次后可能到达的点的坐标为（1，2），（0，4），（2，0），
如果坐标为（1，2），那么2x+y=2×1+2=4；如果坐标为（0，4），那么2x+y=2×0+4=4；如果坐标为（2，0），那么2x+y=2×2+0=4．
即平移2次后2x+y=4；
同理可求出平移3次后2x+y=6；
∵平移1次后2x+y=2，2=2×1；
平移2次后2x+y=4，4=2×2；
平移3次后2x+y=6，6=2×3；
…，
∴平移n次后点P坐标满足的关系式是2x+y=2n；

（3）设点R的坐标为（x，y），
由题意，得

2x+y＝2n y?x＝6

，
解得

x＝ 2 3 n?2 y＝ 2 3 n+4

，
∴x+y=

4

3

n+2．
∵平移的路径长为x+y，
∴50≤x+y≤56，
∴50≤

4

3

n+2≤56，
∴36≤n≤40.5．
∵x、y都是整数，
∴n是3的倍数，
∴n=36，39．
当n=36时，x=

2

3

×36-2=22，y=

2

3

×36+4=28；
当n=39时，x=

2

3

×39-2=24，y=

2

3

×39+4=30；
∴点R的坐标为（22，28），（24，30）．
故答案为2；4；6；2x+y=2n．