Question

对于函数f(x)＝a?2bx+1 （a∈R，b＞0且b≠1）（1）判断函数的单调性并证明；（2）是否存在实数a使函数f

对于函数f(x)＝a?2bx+1 （a∈R，b＞0且b≠1）（1）判断函数的单调性并证明；（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由．

Answer 1

（1）函数f （x）的定义域是R，
当b＞1时，函数f （x）在R上单调递增；当0＜b＜1时，函数f （x）在R上是单调递减．
证明：任取R上两x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=a-

2

bx1+1

-（ a-

2

bx2+1

）=

2

bx2+1

?

2

bx1+1

=

2(bx1?bx2)

(bx1+1)?(bx2+1)

当b＞1时，∵x₁＜x₂∴bx1＜bx2∴bx1?bx2＜0
得f （x₁）-f （x₂）＜0   
所以f （x₁）＜f （x₂）
故此时函数f （x）在R上是单调增函数；
当0＜b＜1时，∵x₁＜x₂∴bx1＞bx2∴bx1?bx2＞0
得f （x₁）-f （x₂）＞0         
所以f （x₁）＞f （x₂）
故此时函数f （x）在R上是单调减函数．
（2）f （x）的定义域是R，
由f（0）=0，求得a=1．
当a=1时，f(?x)＝1?

2

b?x+1

＝

b?x?1

b?x+1

＝

1?bx

1+bx

，f(x)＝1?

2

bx+1

＝

bx?1

bx+1

满足条件f（-x）=-f（x），
故a=1时函数f （x）为奇函数．