Question

已知，如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，BC＝CD，∠A=30°，求∠ABC的度数

已知，如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，BC＝CD，∠A=30°，求∠ABC的度数．





Answer 1

解：连接AC．
∵AD是圆的直径（已知），
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵

BC

=

CD

（已知），∠A=30°（已知），
∴∠DAC=∠CAB=

1

2

∠A=15°（等弧所对的圆周角相等），
∴∠ADC=75°（直角三角形的两个锐角互为余角）；连接BD．
∴∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°；
∴在△BCD中，BC=DC，则∠BDC=∠DBC=15°；
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+15°=105°．

Answer 2

连接AC,
由于AD是圆的直径,
所以∠ACD=90°,
因为弧BC=弧CD,
所以∠DAC=∠CAB=∠a /2=15°
所以∠ADC=180°-15°-90°=75°
圆内接四边形内角和=360°,且∠DAB＋∠DCB＝180°
所以∠ABC=180°-75°=105°