Question

已知函数f（x）=x+ax+b，不等式xf（x）＜0的解集为（1，3）．（Ⅰ）求实数a、b的值；（Ⅱ）若关于x的方程

已知函数f（x）=x+ax+b，不等式xf（x）＜0的解集为（1，3）．（Ⅰ）求实数a、b的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（2x）-k?2-x-k=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

（I）∵不等式xf（x）＜0的解集为（1，3），即x²+bx+a＜0的解集为（1，3），
∴

1+3＝?b 1×3＝a

，
解得a=3，b=-4．
（II）由（I）可得：f(x)＝x+

3

x

-4，
方程f（2^x）-k?2^-x-k=0可化为2^2x-（k+4）?2^x+3-k=0，
令2^x=t，则t＞0．
∴t²-（k+4）t+3-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（k+4）²-4（3-k）＞0，且k+4＞0，3-k＞0，
解得?6+4

2

＜k＜3．
∴实数k的取值范围是(?6+4

2

，3)．