Question

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．

Answer 1

由已知条件可得，秩（A）=1，且a_ii=1（i=1，2，…，n），
从而|A|=0．
由此可得，λ=0为A的特征值．
因为r（A）=1，
所以λ₁=λ₂=…=λ_n-1=0为A的n-r（A）=n-1重特征值．
又因为

n

i＝1

λi＝

n

i＝1

aii=n，
所以λ_n=n．
综上，A 的n个特征值是λ₁=λ₂=…=λ_n-1=0，λ_n=n．
故答案为：λ₁=λ₂=…=λ_n-1=0，λ_n=n．

Answer 2

显然0是它的特征值,并且以0为特征值的基础解系有n-1个,故有0的重数是n-1；又因为每行都有n个1,考虑到（n-1）*1+（1-n）=0所以它还有特征值n.其实对于后面一个特征值,你也可以看看特征值之和要为矩阵的迹为n,故矩阵的特征值为n-1个0
和
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