Question

已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）若p=2q，求方程的另一根；（3）求

已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）若p=2q，求方程的另一根；（3）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．

Answer 1

（1）∵一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5；

（2）设一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为t，
则由韦达定理，得

2+t=-p 2t=q+1 p=2q

，
解得，

t=0 p=-2 q=-1

，
所以，原方程的另一根为0；

（3）证明：令x²+px+q=0．则△=p²-4q=p²-4（-2p-5）=（p+4）²+4＞0，即△＞0，
所以，关于x的方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．