Question

基本不等式及其应用问题

就是说是不是所有式子都要凑成任意两个基本不等式公式那样才能做题？
还有怎么凑啊……
例如 已知a+b=1 求证a²+b²≥1/2
怎么做……

Answer 1

不一定是凑的，要看题目。
这个题是：
a²+b²=(a+b)²-2ab
=1-2ab,(a+b=1)
∵均值不等式可得ab≤(a+b)²/4
∴ab≤1/4,当a=b时等号成立
且-2ab≥-1/2
∵a+b=1
∴a=b=0.5时等号成立
且a²+b²=1-2ab≥1-1/2=1/2
不懂就追问。

追问

均值不等式可得ab≤(a+b)²/4如何得出的

追答

(a-b)²≥0;
a²+b²-2ab≥0;
a²+b²-2ab+4ab≥4ab;
a²+b²+2ab≥4ab;
(a+b)²≥4ab;
ab≤(a+b)²/4