Question

写5条关于《孙子算经》中的题目及答案

Answer 1

《孙子算经》里的孙子问题
在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何?”(答曰：二十三)这就是闻名于世的“孙子问题”。《孙子算经》中给出了它的一般解法：“术日：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。”明朝数学家程大位在所著《算法统宗》中把这一解法概括为四句歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”具体到本题的结果，由70×2+21×3+15×2—2×105=23得所求物为23个，一般地说，所求物个数是23+105n(n=0，1，2，3……)。它的解答要用到不定方程的知识或同余的知识。
　　《孙子算经》对于“孙子问题”的解答暗示了一般途径，由它作出的理论概括，被西方誉为“中国剩余定理”。孙子问题的算法还有其他一些名称，如“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”和“韩信点兵”等。其中“韩信点兵”也指这样的问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。下面给出它的一个算术解法：(1)在6、7、11的公倍数中找一个被5除余1的数，如3×462；(2)在5、7、11的公倍数中找一个被6除余5的数，如5×385；(3)在5、6、11公倍数中找一个被7除余4的数，如4~330；(4)在5、6、7的公倍数中找一个被ll除余1O的数，如10×210；(5)3×462+5×385+4×330+lO×210=6731，则6731是满足条件的一个数，它比5、6、7、11的最小公倍数2310大，若求满足条件的最小正数，则应从6731中减去2310的两倍，得211l，由此所求兵数的一般结果是2111+2310 n(n=0，1，2，……)。这种算术解法也适用于“孙子问题”。
《孙子算经》中的中国剩余定理
最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学《孙子算经》著作中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：
“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被3除余2，被5除余3，被7除余2。
《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：
70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23
后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：
“三人同行七十（70）稀，
五树梅花二一（21）枝。
七子团圆正半月（15），
除百零五（105）便得知。
为什么被3除的余数要乘70，而被5除的余数乘21，被7除的余数乘15呢？仔细研究不难发现：
5×7×2≡1（mod3），3×7≡1（mod5），3×5≡1（mod7），
这就是中国南宋数学家秦九韶在他的《数书九章》中提出的“大衍求一术”的理论，通俗地说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。该理论在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。
如何运用中国剩余定理解题呢？
例1 除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是多少？
这类题目可以直接运用上述的诗歌内容来解答，即用被3除的余数去乘70，用被5除的余数去乘21，用被7除的余数去乘15，再根据要求找出最小的三位数：
1×70＋2×21＋4×15＝70＋42＋60＝172
由于172减去105的差为67，是两位数，所以最小的三位数是172。
例2 一个数除以5余3，除以7余4，除以9余5，这个数最少是多少？
此题由于出现“除以9余5”，因此，如果照搬上述的方法显然是行不通的，但仍可以运用上述的思维方式进行解答。
7×9≡3（mod5），余数同题中所要求的“一个数除以5余3”相同。
5×9≡3（mod7），而题中要求“一个数除以7余4”，因此，只有将5×9的积扩大一定倍数，让其积被7除余4才可，即：5×9×6≡270≡4（mod7）。
同理，5×7≡8（mod9），只有5×7×4≡140≡5（mod9）。
因此，这个数的解法为：
7×9＋5×9×6＋5×7×4－5×7×9
=63＋270＋140－315
=473－315
=158
所以，这个数最少是158。
在这题的解法中，有一个值得探讨的问题是：在5×9≡3（mod7），余数与题中要求的“一个数除以7余4”不符时，为什么一定要将5×9的积扩大6倍，使其积被7除余4呢？这是因为这样的数就满足了能被5和9整除，同时被7除余4的要求，即5×9×6≡4（mod7）≡0（mod5）≡0（mod9）。同理，7×9≡3（mod5）≡0（mod7）≡0（mod9），5×7×4≡5（mod9）≡0（mod5）≡0（mod7）。所以，（5×9×6＋7×9＋5×7×4）≡473≡4（mod7）≡3（mod5）≡5（mod9）。
孙子算经
〈四库全书．孙子算经．提要〉：
　　臣等谨案〈隋．经籍志〉有《孙子算经》二卷，不着其名，亦不着其时代，〈唐．艺文志〉称李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷于孙子上冠以甄鸾，盖如淳风之注《周髀算经》因鸾所注，更加辨论也。《隋书》审度引《孙子算术》：「蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为牦，十牦为分。」本书乃作：「十忽为一丝，十丝为一毫。」又论嘉量，引《孙子算术》：「六粟为圭，十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合。」本书乃作：「十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺。」考之《夏侯阳算经》引田曹、仓曹亦如本书，而《隋书》中所引与史传往往多合，盖古书传本不一，校订之儒各有据证，无妨参
差互见也。唐之选举，算学凡十书，《孙子》《五曹》共限一岁习肄，于后来诸算术中，特为近古，第不知孙子何许人，《朱彝尊集》〈五曹算经．跋〉：「相传其法出于孙武，然孙子别有算经，考古者存其说可尔。」又有〈孙子算经．跋〉云：「首言度量，所起合乎兵法：『地生度，度生量，量生数』之文，次言乘除之法，设为之数，十三篇中所云：
『廓地分利、委积、远输贵卖、兵役、分数』比之《九章》〈方田〉、〈粟米〉、〈差分〉、〈商功〉、〈均输〉、〈盈不足〉之目，往往相符，而要在『得算多，多算胜』以是知此编非伪托也。」彝尊之意，盖以为确出于孙武。今考书内设问有云：「长安、洛阳相去九百里」又云：「佛书二十九章，章六十三字。」则后汉明帝以后人语。孙武，春秋末人，安有是语乎！旧本久佚，今从《永乐大典》所载□集编次，仍为三卷，冠以〈原序〉，其甄、李二家之注，则不可复考，是则姚广孝等割裂刊削之过矣。干隆四十三年七月，恭校上。
　　总纂官：臣纪昀、臣陆锡熊、臣孙士毅。
　　总校官：臣陆费墀。
〈原序〉
　　孙子曰：夫算者：天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同，观天道精微之兆基，察地理从横之长短，采神祇之所在，极成败之符验。穷道德之理，究性命之情。立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析泰絫。历亿载而不朽，施八极而无疆。散之者，富有余；背之者，贫且寠。心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。夫欲学之者，必务量能揆己，志在所专，如是，则焉有不成者哉！
〈卷上〉
　　度之所起，起于忽。欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一牦，十牦为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引，五十引为一端，四十尺为一匹，六尺为一步，二百四十步为一亩，三百步为一里。
　　称之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石。
　　量之所起，起于粟。六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，十斛得六千万粟。所以得知者，六粟为一圭，十圭六十粟为一撮，十撮六百粟为一抄，十抄六千粟为一勺，十勺六万粟为一合，十合六十万粟为一升，十升六百万粟为一斗，十斗六千万粟为一斛，十斛六亿粟百，斛六兆粟，千斛六京粟，万斛六陔粟，十万斛六秭粟，百万斛六穰粟，千万斛六沟粟，万万斛为一亿六涧粟，十亿斛六正粟，百亿斛六载粟。
　　凡大数之法：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰穰，万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。
　　周三，径一，方五，邪七。见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。
　　白银方寸重一十四两。
　　玉方寸重一十两。
　　铜方寸重七两半。
　　铅方寸重九两半。
　　铁方寸重七两。
　　石方寸重三两。
　　凡算之法：先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。（案：万百原本讹作百万，今据《夏侯阳算经》改正。）
　　凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下所得之数列于中。言十即过，不满，自如头位。乘讫者，先去之下位；乘讫者，则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。
　　凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者，置于十百位（头位有空绝者，法退二位。）余法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。
　　以粟求粝米，三之，五而一。
　　以粝米求粟，五之，三而一。
　　以粝米求饭，五之，二而一。
　　以粟米求粝饭，六之，四而一。
　　以粝饭求粝米，二之，五而一。
　　以□米求饭，八之，四而一。
　　十分减一者，以二乘二十除；减二者，以四乘二十除；减三者，以六乘二十除；减四者，以八乘二十除；减五者，以十乘二十除；减六者，以十二乘二十除；减七者，以十四乘二十除；减八者，以十六乘二十除；减九者，以十八乘二十除。
　　九分减一者，以二乘十八除。
　　八分减一者，以二乘十六除。
　　七分减一者，以二乘十四除。
　　六分减一者，以二乘十二除。
　　五分减一者，以二乘十除。
　　九九八十一，自相乘得几何？答曰：六千五百六十一。
　　术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四即下，六千四百于中位；以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上头位八十（案：原本脱「上」字，今补。）以上位一（案：上位原本讹作「头位」，今改正。）呼下八，一八如八，即于中位，下八十；以上一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。
　　六千五百六十一，九人分之。问：人得几何？答曰：七百二十九。
　　术曰：先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人为法，头位置七百（案：原本脱上字，今补。），以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位，置二十（案：上位原本讹作头位，今改正。），以上二呼下九，二九一十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位，更置九（案：上位原本亦讹作头位，今改正。），即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位并尽，收下位，头位所得即人之所得，自八八六十四至一一如一，并准此。
　　八九七十二，自相乘，得五千一百八十四，八人分之，人得六百四十八。
　　七九六十三，自相乘，得三千九百六十九，七人分之，人得五百六十七。
　　六九五十四，自相乘，得二千九百一十六，六人分之，人得四百八十六。
　　五九四十五，自相乘，得二千二十五，五人分之，人得四百五。
　　四九三十六，自相乘，得一千二百九十六，四人分之，人得三百二十四。
　　三九二十七，自相乘，得七百二十九，三人分之，人得二百四十三。
　　二九一十八，自相乘，得三百二十四，二人分之，人得一百六十二。
　　一九如九，自相乘，得八十一，一人得八十一。
　　右九九一条，得四百五，自相乘，得一十六万四千二十五，九人分之，人得八千二百二十五。
　　八八六十四，自相乘，得四千九十六，八人分之，人得五百一十二。
　　七八五十六，自相乘，得三千一百三十六，七人分之，人得四百四十八。
　　六八四十八，自相乘，得二千三百四，六人分之，人得三百八十四。
　　五八四十，自相乘，得一千六百，五人分之，人得三百二十。
　　四八三十二，自相乘，得一千二十四，四人分之，人得二百五十六。
　　三八二十四，自相乘，得五百七十六，三人分之，人得一百九十二。
　　二八十六，自相乘，得二百五十六，二人分之，人得一百二十八。
　　一八如八，自相乘，得六十四，一人得六十四。
　　右八八一条，得二百八十八，自相乘，得八万二千九百四十四，八人分之，人得一万三百六十八。
　　七七四十九，自相乘，得二千四百一，七人分之，人得三百四十三。
　　六七四十二，自相乘，得一千七百六十四，六人分之，人得二百九十四。
　　五七三十五，自相乘，得一千二百二十五，五人分之，人得二百四十五。
　　四七二十八，自相乘，得七百八十四，四人分之，人得一百九十六。
　　三七二十一，自相乘，得四百四十一，三人分之，人得一百四十七。
　　二七一十四，自相乘，得一百九十六，二人分之，人得九十八。
　　一七如七，自相乘，得四十九，一人得四十九。
　　右七七一条，得一百九十六，自相乘，得三万八千四百一十六，七人分之，人得五千四百八十八。
　　六六三十六，自相乘，得一千二百九十六，六人分之，人得二百一十六。
　　五六三十，自相乘，得九百，五人分之，人得一百八十。
　　四六二十四，自相乘，得五百七十六，四人分之，人得一百四十四。
　　三六一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。
　　二六一十二，自相乘，得一百四十四，二人分之，人得七十二。
　　一六如六，自相乘，得三十六，一人得三十六。
　　右六六一条，得一百二十六，自相乘，得一万五千八百七十六，六人分之，人得二千六百四十六。
　　五五二十五，自相乘，得六百二十五，五人分之，人得一百二十五。
　　四五二十，自相乘，得四百，四人分之，人得一百。
　　三五一十五，自相乘，得二百二十五，三人分之，人得七十五。
　　二五一十，自相乘，得一百，二人分之，得五十。
　　一五如五，自相乘，得二十五，一人得二十五。
　　右五五一条，得七十五，自相乘，得五千六百二十五，五人分之，人得一千一百二十五。
　　四四一十六，自相乘，得二百五十六，四人分之，人得六十四。
　　三四一十二，自相乘，得一百四十四，三人分之，人得四十八。
　　二四如八，自相乘，得六十四，二人分之，人得三十二。
　　一四如四，自相乘，得一十六，一人得一十六。
　　右四四一条，得四十，自相乘，得一千六百，四人分之，人得四百。
　　三三如九，自相乘，得八十一，三人分之，人得二十七。
　　二三如六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。
　　一三如三，自相乘，得九，一人得九。
　　右三三一条，得一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。
　　二二如四，自相乘，得一十六，二人分之，人得八。
　　一二如二，自相乘，得四，一人得四。
　　右二二一条，得六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。
　　一一如一，自相乘，得一，一乘不长。
　　右从九九至一一，总成一千一百五十五，自相乘，得一百三十三万四千二十五，九人分之，人得一十四万八千二百二十五。
　　以九乘一十二，得一百八，六人分之，人得一十八。
　　以二十七乘三十六，得九百七十二，一十八人分之，人得五十四。
　　以八十一乘一百八，得八千七百四十八，五十四人分之，人得六十二。
　　以二百四十三乘三百二十四，得七万八千七百三十二，一百六十二人分之，人得四百八十六。
　　以七百二十九乘九百七十二，得七十万八千五百八十八，四百八十六人分之，人得一千四百五十八。
　　以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七万七千二百九十二，一千四百五十八人分之，得四千三百七十四。
　　以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九万五千六百二十八，四千三百七十四人分之，人得一万三千一百二十二。
　　以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四，得五亿一千六百五十六万六百五十二，一万三千一百二十二人分之，人得三万九千三百六十六。
　　以五万九千四十九乘七万八千七百三十二，得四十六亿四千九百四万五千八百六十八，三万九千三百六十六人分之，人得一十一万八千九十八。
　　以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六，得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二，一十一万八千九十八人分之，得三十五万四千二百九十四。
　　以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八，得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八，三十五万四千二百九十四人分之，人得一百六万二千八百八十二。
〈卷中〉
　　今有一十八分之一十二。问：约之得几何？答曰：三分之二。
　　术曰：置十八分在下，一十二分在上，副置二位以少减多，等数得六为法，约之即得。
　　今有三分之一、五分之二。问：合之二得几何？答曰：一十五分之十一。
　　术曰：置三分五分在右方，之一之二在左方，母互乘子，五分之二得六，三分之一得五，并之，得一十一为实；又方二母相乘，得一十五为法。不满法，以法命之，即得。
　　今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？答曰：四十五分之三十一。
　　术曰：置九分五分在右方，之八之一在左方，母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十，以少减多，余三十一，为实；母相乘，得四十五，为法。不满法，以法命之，即得。
　　今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，几何而平？答曰：减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，而各平于一十二分之七。