Question

已知直线 y=kx+3(k<0)分别交 x轴、y 轴于A、B两点，线段

已知直线 y=kx+3(k<0)分别交 x轴、y 轴于A、B两点，线段 OA 上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒.
(1)当 k=-1时，线段OA上另有一动点Q 由点A 向点O运动，它与点 P 以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动(如图 1).
①直接写出 t=1秒时 C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB 相似，求t的值.
(2)当k=-3/4时，设以C为顶点的抛物线y=(x+m)平方+n与直线AB的另一交点为D
三角形OCD的面积是否为定值，若是，求出三角形OCD的面积的定值，若不是说明理由

Answer 1

（1）①C（1,2），Q（2,0）

②第一种情况：PQ重合，此时OP=1/2OA，即t=3/2s,

第二种请况：Q在P的左边，QC垂直于AB时，由于k=-1，△AOB为等边直角三角形，所以有△QCA也为等边直角三角形，又CP垂直平分QA，PA=OQ（P,Q反向速度相同），所以有OQ=QP=PA,OP=2,即t=2s
（2）当k=-3/4时，易得B坐标（0,3），A坐标（4，0），由抛物线性质及C为顶点可知，x=-m=t（C点横坐标）时，抛物线有最小值为n，且n=3/4(4-t），由此推得n=3+3/4m=3-3/4t（C点纵坐标），
接下来求抛物线与直线交点，令-3/4x+3=(x+m)的平方+n，化简后得（x-t)平方（x-t+3/4)=0,解得x1=t，x2=t-3/4（D点横坐标）
将x2代入抛物线，求得D点坐标为（t-3/4，9/16+3-3/4t）
最后求△OCD面积S，由于S△OCD=S△ODA-S△OAC=1/2*OA*D点纵坐标-1/2*OA*C点纵坐标，即S=1/2*4*(9/16+3-3/4t)-1/2*4(3-3/4t)=9/8，所以面积为定值