Question

设总体X的分布函数为F（x，β）=1?1xβ，x＞10， x≤1，其中未知参数β＞1，X1，X2，…，Xn为...

设总体X的分布函数为F（x，β）=1?1xβ，x＞10， x≤1，其中未知参数β＞1，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求：（1）β的矩估计量．（2）β的最大似然估计量．

Answer 1

X的概率密度为f(x，β)＝

β xβ+1 ，x＞1 0，x≤1

（1）由于EX＝

∫

+∞ ?∞

xf(x；β)dx＝

∫

+∞ 1

x?

β

xβ+1

dx＝

β

β?1

，
令

β

β?1

＝

.

X

，解得 β＝

. X

. X ?1

，所以参数β的矩估计量为

?

β

＝

. X

. X ?1

．

（2）构造似然函数为
L(x1，x2，…，xn；β)＝πf(xi；β)＝

βn (x1 x2∧xn)β+1 ，xi＞1 0，          其他

当x_i＞1（i=1，2，…，n）时，L（β）＞0，取对数得lnL(β)＝nlnβ?(β+1)

n

i＝1

lnxi，
两边对β求导，得

dlnL(β)

dβ

＝

n

β

?

n

i＝1

lnxi，
令

dlnL(β)

dβ

＝0，可得  β＝

n

n i＝1 lnxi

，
故β的最大似然估计量为

?

β

＝

n

n i＝1 lnXi

．