Question

设数列{an}满足a1=2，an+1＝an+2n（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）去掉数列{an}中的第3项，

设数列{an}满足a1=2，an+1＝an+2n（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）去掉数列{an}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项…，余下的项按顺序不变，重新组成一个新数列{bn}，求{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）a₁=2，
因为an+1＝an+2n
所以an?an?1＝2n?1an?1?an?2＝2n?2
…a2?a1＝21
将上述等式两边分别相加，
得an?a1＝21+22+…+2n?1=

2(1?2n?1)

1?2

，
所以an＝2n．…（6分）
（2）当n=2k时，
Tn＝T2k＝(2+24+…+23k?2)+(22+25+…+23k?1)
=

6(8k?1)

7

…（10分）
=

6(8 n 2 ?1)

7

；
当n=2k+1时，
Tn＝T2k+23k+1
=

20?8k?6

7

+23k+1
=

20?8 n?1 2 ?6

7

+2

3n?1

2

．…（14分）
综上可得T_n=

6?8 n?1 2 ?6 7 ，n为偶数 20?8 n?1 2 ?6 7 +2 3n?1 2 ，n为奇数

．…（16分）