Question

如图，B是线段AC上一点，△ABD和△BCE均为等边三角形．（1）求证：AE=CD．（2）若△BCE与△BCE′关于直线

如图，B是线段AC上一点，△ABD和△BCE均为等边三角形．（1）求证：AE=CD．（2）若△BCE与△BCE′关于直线AC轴对称，AE′与CD还相等吗？用尺规画出图形，若相等，请给出证明；若不相等请说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：∵△ABD和△BCE均为等边三角形
∴∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，AB=BD
∴∠DBC=∠ABE=180°-60°=120°
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD．

（2）解：尺规作图如图，AE'与CD仍相等．
证明：∵△ABD与△BCE'均为等边三角形
∴∠ABD=∠CBE'=60°
AB=BD，BC=BE'
∴∠ABD=∠CBE'=60°
AB=BD，BC=BE'
∴∠ABE'=∠ABD+∠DBE'
=∠CBE'+∠DBE'
=∠CBD
∴△ABE'≌△CBD，
∴AE'=CD．