Question

设二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x

设二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x：（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤ ( x+1 2 ) 2 ；（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

因f（x-4）=f（2-x），则函数的图象关于x=-1对称，∴ - b 2a =-1，b=2a， 由（3），x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由（1）得，f（1）≥1，由（2）得，f（1）≤1， 则f（1）=1，即a+b+c=1．又a-b+c=0，则b= 1 2 ，a= 1 4 ，c= 1 4 ，故f（x）= 1 4 x 2 + 1 2 x+ 1 4 ． 假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x． 取x=1，有f（t+1）≤1，即 1 4 （t+1） 2 + 1 2 （t+1）+ 1 4 ≤1，解得-4≤t≤0， 对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有f（t+m）≤m，即 1 4 （t+m） 2 + 1 2 （t+m）+ 1 4 ≤m． 化简有：m 2 -2（1-t）m+（t 2 +2t+1）≤0，解得1-t- -4t ≤m≤1-t+ -4t ， 故m≤1-t- -4t ≤1-（-4）+ -4(-4) =9 当t=-4时，对任意的x∈[1，9]， 恒有f（x-4）-x= 1 4 （x 2 -10x+9）= 1 4 （x-1）（x-9）≤0． ∴m的最大值为9． ∵f（x-4）=f（2-x） ∴函数的图象关于x=-1对称 ∴ - b 2a =-1 b=2a 由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0 由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1 ∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0 ∴a= 1 4 b= 1 2 c= 1 4 ∴f（x）= 1 4 x 2 + 1 2 x+ 1 4 …（5分） 假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x 取x=1时，有f（t+1）≤1? 1 4 （t+1） 2 + 1 2 （t+1）+ 1 4 ≤1?-4≤t≤0 对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有 f（t+m）≤m? 1 4 （t+m） 2 + 1 2 （t+m）+ 1 4 ≤m?m 2 -2（1-t）m+（t 2 +2t+1）≤0? 1-t- -4t ≤m≤ 1-t+ -4t …（10分） ∴m≤ 1-t+ -4t ≤ 1-(-4)+ -4?(-4) =9 …（15分） 当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，恒有 f（x-4）-x= 1 4 （x 2 -10x+9）= 1 4 （x-1）（x-9）≤0 ∴m的最大值为9． …（20分） 另∵f（x-4）=f（2-x） ∴函数的图象关于x=-1对称 ∴ - b 2a =-1 b=2a 由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0 由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1 ∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0 ∴a= 1 4 b= 1 2 c= 1 4 ∴f（x）= 1 4 x 2 + 1 2 x+ 1 4 = 1 4 （x+1） 2 …（5分） 由f（x+t）= 1 4 （x+t+1） 2 ≤x 在x∈[1，m]上恒成立 ∴4[f（x+t）-x]=x 2 +2（t-1）x+（t+1） 2 ≤0当x∈[1，m]时，恒成立 令 x=1有t 2 +4t≤0?-4≤t≤0 令x=m有t 2 +2（m+1）t+（m-1） 2 ≤0当t∈[-4，0]时，恒有解 …（10分） 令t=-4得，m 2 -10m+9≤0?1≤m≤9 …（15分） 即当t=-4时，任取x∈[1，9]恒有 f（x-4）-x= 1 4 （x 2 -10x+9）= 1 4 （x-1）（x-9）≤0 ∴m max =9 …（20分）