Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax 3 -3x 2 （a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值

已知定义在R上的函数f（x）=ax 3 -3x 2 （a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）由f（x）=ax 3 -3x 2 ，得f′（x）=3ax 2 -6x． ∵x=1是函数f（x）的一个极值点， ∴f′（1）=3a-6=0，解得a=2； （2）∵f′（x）=3ax 2 -6x=3x（ax-2）． 若a=0，则f′（x）=-6x，当x＞0时，f′（x）0． 函数的减区间为（0，+∞），增区间为（-∞，0）； 若a＞0，当x∈（-∞，0）， ( 2 a ，+∞) 时，f′（x）＞0，当x∈ (0， 2 a ) 时，f′（x）＜0 函数的减区间为 (0， 2 a ) ，增区间为（-∞，0）， ( 2 a ，+∞) ； 若a＜0，当x∈ (-∞， 2 a )，(0，+∞) 时，f′（x）0 函数的减区间为 (-∞， 2 a )，(0，+∞) ，增区间为 ( 2 a ，0) ．