Question

已知函数f（x）=2x?12x+1（x∈R）．（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并

已知函数f（x）=2x?12x+1（x∈R）．（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为R，
f（-x）=

2?x?1

2x+1

＝

1?2x

2x+1

=-

2x?1

2x+1

=-f（x），
故函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在R上的单调递增．
证明：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1?1

2x1+1

?

2x2?1

2x2+1

=

(2x1?1)(2x2+1)?(2x2?1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+2)

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在R上的单调递增．