Question

在数列{an}中，Sn+1=4an+2，a1=1．（1）设bn=an+1-2an，求证数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项

在数列{an}中，Sn+1=4an+2，a1=1．（1）设bn=an+1-2an，求证数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）由题意，S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，两式相减，得S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n）
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=2b_n（n∈N^*），
q=

bn+1

bn

=2，
又由题设，得1+a₂=4+2=6，即a₂=5
b₁=a₂-2a₁=3，
∴数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，其通项公式为b_n=3?2^n-1．
（2）由（1）可得bn=an+1-2an=3?2n-1，所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
∴数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列；
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）

3

4

，
∴an＝(3n?1)2n^-2．

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示