如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=BC,∠PBC=90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面ABC

如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=BC,∠PBC=90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面ABC(Ⅱ)如果三棱锥P-BCD的体积为3,... 如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=BC,∠PBC=90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面ABC(Ⅱ)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求PA. 展开
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识瀚糖社2115
2014-11-07 · TA获得超过181个赞
知道小有建树答主
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解:(Ⅰ)取AB中点为O,连结OD,OP.
因为PA=PB,所以AB⊥OP.
又AB⊥PD,OP∩PD=P,所以AB⊥平面POD,
因为OD?平面POD,所以AB⊥OD.…(3分)
由已知,BC⊥PB,又OD∥BC,所以OD⊥PB,
因为AB∩PB=B,所以OD⊥平面PAB.
又OD?平面ABC,所以平面PAB⊥平面ABC.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,OP⊥平面ABC.
设PA=a,因为D为AC的中点,所以
VP-BCD=
1
2
VP-ABC=
1
2
×
1
3
×
1
2
a2×
3
2
a=
3
24
a3,…(10分)
3
24
a3=3解得a=2
3
,即PA=2
3
.…(12分)
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