Question

已知函数f（x）=log2（ax2+2x-3a），（1）当a=-1时，求该函数的定义域和值域；（2）当a≤0时，如果f（x）

已知函数f（x）=log2（ax2+2x-3a），（1）当a=-1时，求该函数的定义域和值域；（2）当a≤0时，如果f（x）≥1在x∈[2，3]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=-1时，f（x）=log₂（ax²+2x-3a）．
令-x²+2x+3＞0，解得-1＜＜x＜3
所以函数f（x）的定义域为（-1，3）．
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则0＜t≤4
所以f（x）=log₂t≤log₂4=2
因此函数f（x）的值域为（-∞，2]（6分）
（2）f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立等价于ax²+2x-3a-2≥0在区间[2，3]上恒成立
由ax²+2x-3a-2≥0且x∈[2，3]时，x²-3＞0，得
a≥

2?2x

x2?3

令h（x）=

2?2x

x2?3

，则h′（x）=

2x2?4x+6

(x2?3)2

＞0
所以h（x）在区间[2，3]上是增函数，所以h（x）_max=h（3）=-

2

3

因此a的取值范围是[-

2

3

，+∞）．（12分）